Теория случайных матриц

Данный курс является вводным в теорию случайных матриц. Цель курса – сформировать общую картину предмета, дать представление об асимптотических и неасимототических методах, которые используются как в чистой математике, так и в различных ее приложениях.

Лекции: Алексей Наумов (naumovne@gmail.com).
Семинары: Леонид Иосипой (iosipoileonid@gmail.com).

Лекции

05.09.2016

Гауссовский случай

Лемма Стейна. Моменты и хвосты гауссовских случайных величин. Гауссовские векторы: совместная плотность распределения, асимптотическая оценка сверху максимума и неравенство сравнения Судакова-Ферника.

12.09.2016

Инвариантные ансамбли матриц

Гауссовские ортогональные и унитарные ансамбли. Ансамбли Уишарта-Лагерра.

19.09.2016
03.10.2016

Предельные теоремы для спектра случайной матрицы

Преобразование Стилтьеса. Полукруговой закон Вигнера. Закон Марченко-Пастура.

10.10.2016
31.10.2016

Спектральные проекторы и ковариационная матрица

Спектральные проекторы. Верхняя оценка для мат. ожидания нормы отклонения выборочной ковариационной матрицы от истинного значения в терминах эффективного ранга.

Конспект всех лекций

07.10.2016
14.10.2016

Сингулярные числа и концентрация

Наибольшее и наименьшее сингулярные числа квадратных случайных матриц. Концентрация на малых шарах, функция концентрации Леви.

Ссылки на литературу:
[1] M. Rudelson, R. Vershynin. The Littlewood–Offord problem and invertibility of random matrices;
[2] J. Bun, J.-P. Bouchaud, M. Potters. Cleaning large Correlation Matrices: tools from Random Matrix Theory.

Семинары

05.09.2016

Суб-гауссовские случайные величины

Хвост распределения неотрицательной случайной величины. Сравнение оценки Чернова и моментных оценок. Суб-гауссовские случайные величины (эквивалентные определения и простейшие свойства).

Домашнее задание: Листок 1 (до 19.09.16)

12.09.2016

Суб-экспоненциальные случайные величины

Суб-экспоненциальные случайные величины (эквивалентные определения). Cумма независимых суб-гауссовских и суб-экспоненциальных величин. Концентрация распределения хи-квадрат.

Домашнее задание: Листок 2 (до 26.09.16).

19.09.2016

Приложение: Вложение Джонсона-Линденштрауса

Вложение Джонсона-Линденштрауса. Сумма зависимых суб-гауссовских и суб-экпоненциальных величин. Произведение суб-гауссовских величин.

Домашнее задание: Листок 3 (до 3.10.16).

03.10.2016

Суб-гауссовские случайные матрицы

Простейшие матричные функции и их свойства. Теорема Либа (без доказательства). Суб-гауссовские случайные матрицы и матричное неравенство Хёффдинга.

Домашнее задание: Листок 4 (до 24.10.16).

17.10.2016

Разбор домашних задач и материала лекций

Сравнение гауссовских векторов. Неравенство Слепяна и Судакова-Ферника. Ковариационная матрица, эффективный ранг, decoupling.

Домашнее задание: не будет.

31.10.2016

Суб-экспоненциальные случайные матрицы. Неравенство Бернштейна

Суб-экспоненциальные случайные матрицы. Неравенство Хёффдинга. Неравенство Бернштейна для случайных величин и случайных матриц.

Домашнее задание: Листок 5 (до 14.11.16).

07.11.2016

Приложения: свойства графа Эрдеша-Реньи.

Концентрация степеней вершин графа Эрдеша-Реньи с большой вероятностью. Теорема Гершгорина. Лапласиан графа. Связность графа Эрдеша-Реньи.

Домашнее задание: Листок 6 (до 21.11.16).

14.11.2016

Оценки «с большой верятностью» для норм.

Простейшие матрицы. Неравенство Хёффдинга и оценки «с большой верятностью». Симметризация. Аппроксимация с помощью эпсилон-сети.

Домашнее задание: Листок 7 (до 01.12.16)

21.11.2016

Оценка ковариационной матрицы.

Суб-гауссовские случайные вектора. Близость выборочной ковариационной матрицы в операторной норме «с большой верятностью» для суб-гауссовских векторов.

Домашнее задание: Листок 8 (до 05.12.16)

28.11.2016

Приложения: поиск сообществ в социальных сетях.

Stochastic Block Model. Spectral Clustering.

Домашнее задание: не будет.